Dos profesores de matemáticas hacen el cálculo
Recientemente se encontró en una botella en la costa suroeste de Australia un alegre mensaje de hace 100 años. En él, un soldado de la Primera Guerra Mundial proclamaba ser "tan feliz como Larry".
Si eres aficionado a las apuestas, probablemente no esperarías que esto ocurriera. Una botella arrojada al océano podría terminar en cualquier lugar.
Si flota hasta un remoto lugar, hay pocas posibilidades de que alguien lo encuentre. Y si aterriza en un lugar más favorable donde la gente podría encontrarlo, surgen otros problemas. El mensaje en sí se deteriorará con el tiempo a medida que la luz lo degrade. Si la botella se llena de agua, se hundirá y casi con toda seguridad nunca se encontrará.
Entonces, ¿Cuáles son las probabilidades de encontrar un mensaje en una botella y que este sea mayor a 100 años? ¿Y cuáles son tus probabilidades de encontrar esta botella?
A pesar de estas muchas posibilidades durante la vida útil de una botella, la probabilidad que buscamos es un cálculo sencillo. Basta con contar el número de botellas con mensajes que se han encontrado y que tienen más de 100 años, y dividirlo por el número de mensajes que se han enviado de esta manera (suponiendo que sabemos cuántos se envían):
Imagen: Cálculo de probabilidad. (Crédito de la imagen: The Conversation)
El diagrama a continuación muestra una hipotética situación en la que se envían 20 botellas en total, de las cuales se encuentran seis (indicadas en dorado) y una de ellas tiene más de 100 años (indicada por el sello "100"). Por lo tanto, se encuentra una de cada 20 botellas con más de 100 años de antigüedad. (Nota: Este es solo un cálculo hipotético, no datos reales).
Imagen: Datos hipotéticos de una botella. Imagen de la botella obtenida de https://www.flaticon.com/free-icons/bottle. (Crédito de la imagen: The Conversation)
En lugar de calcular la probabilidad directamente, otra forma de hacerlo es dividiendo el problema en dos partes: (A) se encuentra una botella con un mensaje y (B) la botella encontrada es mayor de 100 años. Estas dos probabilidades se pueden calcular por separado y multiplicarse para obtener el resultado deseado:
Imagen: Regla de multiplicación de la probabilidad. (Crédito de la imagen: The Conversation)
Esto se conoce como la "regla de la multiplicación" de la probabilidad, y confirmamos con nuestros números hipotéticos que (6/20) × (1/6) = 1/20, como antes.
Ambos métodos para calcular esta probabilidad son sencillos. Sin embargo, el cálculo directo requiere conocer el número total de botellas enviadas, lo cual es muy difícil de saber en la práctica.
La regla de la multiplicación tiene la ventaja de dividir el cálculo en dos partes. Podemos abordar cada una por separado y luego combinar los resultados para obtener la probabilidad deseada. Esto resulta útil en situaciones reales donde podemos obtener información de diversas fuentes.
En primer lugar, analizaremos la probabilidad de encontrar una botella con un mensaje, independientemente de su antigüedad.
Expertos de la Agencia Federal Marítima e Hidrográfica de Alemania sugieren una probabilidad de 1 entre 10 de encontrar un mensaje en una botella. Esto coincide en líneas generales con diversos experimentos históricos de "botellas a la deriva", en los que oceanógrafos lanzaban un gran número de botellas para comprender las corrientes oceánicas.
Por ejemplo, estudios realizados en las décadas de 1960 y 1970 en el Atlántico Norte arrojaron tasas de recuperación del 14 % en el Golfo de México, del 8 % en el Mar Caribe y del 7 % en la costa norte de Brasil. Un estudio más reciente y realizado más al norte (entre Canadá y Groenlandia) en la década de 2000 dio como resultado una tasa de recuperación del 5 %.
Cabría esperar que los resultados variaran, como es natural, en distintos experimentos realizados en diferentes partes del mundo. Pero para simplificar, mantendremos una probabilidad de 1/10 de encontrar una botella con un mensaje.
Ahora pasemos a la segunda parte del cálculo: de las botellas encontradas, ¿Qué proporción tiene más de 100 años?
La tabla que aparece a continuación resume los datos de artículos periodísticos recopilados en Wikipedia sobre botellas muy antiguas con mensajes que se han encontrado. Sin embargo, solo se han recopilado datos sobre botellas de más de 25 años, presumiblemente porque las botellas más antiguas suelen ser noticia.
Imagen: Datos sobre la distribución por edades de las botellas encontradas, donde el asterisco * indica una cantidad estimada. (Crédito de la imagen: The Conversation)
Entonces, se necesitaría estimar por nosotros mismos la cantidad de botellas de 0 a 25 años con mensajes; así es como lo hicieron los investigadores.
La tabla muestra que, a medida que envejecen, se encuentran menos botellas con mensajes. Los mensajes en las botellas se deterioran con el tiempo, lo que aumenta la probabilidad de que se rompan y se hundan, o simplemente queden cubiertas por capas de sedimento. Representar estos datos en el gráfico a continuación permitió observar con mayor claridad la tendencia en la antigüedad de las botellas encontradas.
Imagen: Tendencia en la antigüedad de las botellas encontradas. (Crédito de la imagen: The Conversation)
Trazamos una línea para igualar esta tendencia observada en las edades de las botellas encontradas. Esta línea roja en el gráfico corresponde a la ecuación:
Imagen: (Crédito: The Conversation)
Esta ecuación proporciona una estimación de cuántas botellas se han encontrado para un rango de edad específico (donde 25 = 0 a 25 años, 50 = 25 a 50 años, y así sucesivamente). Nos interesan las botellas de 0 a 25 años, por lo que la ecuación sugiere que se han encontrado 46 botellas en este rango.
Sumando esto y todos los números de la tabla da un total de 106 botellas encontradas, de las cuales 12 tienen más de 100 años y 12/106 es aproximadamente una de cada diez.
Recapitulando lo anterior, tenemos que: (A) se encuentra una de cada diez botellas con mensajes, de las cuales (B) una de cada diez tiene más de 100 años. Combinando estos resultados mediante la regla de la multiplicación, estimamos que la probabilidad de encontrar un mensaje en una botella y que esta tenga más de 100 años es (1/10)×(1/10) = 1/100.
Si hay 100.000 botellas con mensajes flotando en los océanos esperando ser encontradas, cabría esperar que se encontraran 1.000 de ellas, con una antigüedad de 100 años o más. Suponiendo que cualquier persona en el mundo tenga la misma probabilidad de encontrar una, con 8.000 millones de personas actualmente, la probabilidad de encontrar una es de aproximadamente 1 entre 8 millones, lo cual es bastante improbable.
Sin embargo, algunas personas son más persistentes que otras en la búsqueda de mensajes en botellas. Seguir las trayectorias de las corrientes oceánicas (conocidas como giros oceánicos) podría proporcionar pistas sobre dónde buscar.
En concreto, las penínsulas o islas que se cruzan con estos giros podrían ser buenos lugares. Por este motivo, se ha sugerido que las islas del Caribe están idealmente situadas para encontrar botellas, ya que se encuentran en la trayectoria del Giro del Atlántico Norte. ¡Una razón estupenda para viajar al Caribe!
Pero pensemos también en la pobre alma varada en su isla desierta, que seguramente no apreciará las escasas probabilidades de que se encuentre su señal de socorro.
Este artículo, editado, de Kevin Burke y David O'Sullivan de la Universidad de Limerick se republica desde The Conversation bajo una licencia Creative Commons. Lee el artículo original en inglés: What is the chance of a message in a bottle being found?.
